九蓮宝燈を聴牌する確率はどのくらいか？

（注意：実際の麻雀のルールに則って「九蓮宝燈を聴牌する確率」を計算したわけではありません）

先日，萬子牌36枚から任意の13枚を選び，並べたときに純正九蓮宝燈を聴牌する確率は，はたしてどのくらいだろうか？という話題になった．面白そうなテーマだったので考えてみたのだが，そもそも，麻雀を知らない人のために，まずは麻雀のルールから解説し，純正九蓮宝燈とは何かを説明する資料を用意した．

数値実験

数値実験をしてみる．数値実験をするために，次のようなコードを用意した．

このコードを動かしてみると，だいたい0.00011という値になる．パーセンテージにして，0.01%程度．そんなもんかな？

計算してみた

まず，パターンがいくつかあるか考えてみる．1と9は，4つの牌から3つずつ選ぶので，その選び方はchoose(4, 3) （※ R言語による表現）となる．2から8までは，4枚ずつから1つずつ選ぶので，それぞれ4．したがって，36個の牌から無作為に13個を選んだときに純正九蓮宝燈の聴牌となる選び方は，choose(4, 3) ^2 * 4^7 だけある．

そして，全てのパターンの選び方は，これはchoose(36, 13) でよい．したがって，その確率は choose(4. 3) ^2 * 4^7 / choose(36, 13) だ．

choose(4, 3) = choose(4, (4-3)) = choose(4, 1) = 4だから，けっきょく分子は4^9，分母はcoose(36, 13)ということになって，計算もそんなに難しくない．4^9・13!・23!／36! を計算してみよう．まず23!を消したいので，P = 4^9・13! / (36・35・…・24) = 4^7 / 35・34・31・29・27・5 = 2^13 / 35・17・31・29・27・5 = 8192 / 72212175 = 0.000113... 

そんなもんでした＼(^o^)／