オイラーの公式から三角関数の加法定理は簡単に導けるよという話を紹介したところ，「三角関数の加法定理を導くのにオイラーの公式を持ち出すのは，小学生に銃を向けているようなものだ」とのご意見をいただいた．
オーケー，では高校生が習う数学の範囲で解く，エクセレントな加法定理の導き方を紹介しよう．この方法は，M大学のD先生が教えてくださった方法である．
この図をみていだきたい．単位円上に，ベクトルa，bを描く．たまたま0＜α, β＜π/2の範囲で描いているが，αとβの角度はなんでもよい．
そして，ベクトルの内積を用いて三角関数の加法定理を導く方法は次のとおりである．実にシンプル．簡単な方法で目から鱗である．
数学の授業で「オイラーの公式」の美しさについて滔々と語ったところ，学生から「その美しさがわからない」という感想が出た．オイラーの公式とは，次の式で指数関数と三角関数が結ばれるというものである．
指数関数と三角関数が，こんな簡単な式で結ばれるというだけでもう十分に美しいと思うのだが，オイラーの公式を使うといろいろな証明が簡単にできるという事例を紹介しよう．少しは美しさについて気づいてもらえるだろうか．
三角関数の加法定理を導出する手順も，オイラーの公式を用いると実に簡単になる．三角関数を高校生に教えることが必要か不要かという議論が先般，話題になったが，高校数学で三角関数の加法定理を暗記せよという苦痛を味わった皆さんも多いことだろう．咲いた咲いたコスモス云々というなんだかよくわからない呪文を私も唱えたことがある．
しかし，本来，数学は暗記科目ではない．加法定理など，憶える必要はないのだ．そしてそれに続く倍角の公式やら半角の公式やらも，加法定理からいちいち導けばよろしい．公式を憶えることが重要なのではなく，さっと導くことができることが大切だ（受験数学に限っていえば，限られた時間のなかでスッと引き出すために，憶えておくことは無駄ではないかもしれないが）．
そしてオイラーの公式を使えば次のようにとても簡単に導出できる．美しい．
三角関数を微分したらどうなるんだっけ……，これも，オイラーの公式から簡単に導出できる．次のようにすればよい．オイラーの公式自体は指数関数と三角関数のマクローリン展開から導くことができる．数学はいろいろと密接に関連している体系的な学問なのだ．あー，美しい．
