数学的思考とは

次のマンガは，FacebookのMeme for mathematiciansというページに掲載されていたものである．皆さん，いかがだろうか．共感する？しない？

さて，このマンガ，数学的思考あるいは数学的センスを身につけているひとにとっては，全くナンセンスである．なぜならば，1 = 0.99999…… という等式は，きわめて「当たり前」にしか感じないからである．

0.99999……，この表現を「数値そのもの」ととるか，あるいは，「数値＋演算子（operator）」，「操作（operation）」または「式（formula）」ととるかで解釈が異なるだろう．前者と捉えた場合，最後のコマのようにwhat the fuckと感じるのもさもありなん，ではある．

後者の考え方によれば，0.99999という数に「……」という操作（オペレーション）が加わっていると理解できる．「……」は「その後に9が延々と続く」という操作である．分かりにくければ，循環小数を表すときに使われる，「0.9*」（9の上にドットを書く，この場合は適切に書けないのでアスタリスクで表現するものとする）という表現ではどうだろうか．この場合，「0.9」という数値に「*」という演算子が与えられていると捉えられよう．そして，そう考えれば，1 = 0.9* という式に，何の違和感も覚えないはず．

なお，初等数学で習う演算子のほとんどは，演算子の対象とする被演算子（operand）が二つである二項演算子（たとえば a + b とか，a ÷ b の場合，+や÷が演算子で，aとbが被演算子である．被演算子が2つあるので，二項演算子という）である．対して，今回考えた0.9*は，「*」という演算子に対して被演算子が0.9である，単項演算子なので，その点についても違和感を覚えるかもしれない．しかし，皆さんお馴染みの「√」記号，これを「平方根をとる」という演算子と捉えれば，被演算子が一つなので，それも，単項演算子である．階乗を表す「!」，たとえば 4! = 24 も，単項演算子（被演算子の後ろに置くので，後置演算子という）である．

ところで，1 = 0.9* にまだ納得できないひとは，これならばどうだろう？1=1^♾️ あるいは 1=9^0，前者は1を延々に掛け続ける操作，後者は9のゼロ乗である．いずれも，等式としては正しい．1=1^♾️ や 1=9^0 を理解できるのならば，1 = 0.9* を受け入れるのは，そう難しくないと思うのだが．